RADEON HD4000でWindows8.1を検索してくる人がたまにいるんだけど

結論から言うと動くかもしれない、
一応AMD公式にWindows8のレガシー版ドライバがあるのでそれを入れれば動くと思う。
8で動くドライバは例外はあるがだいたい8.1でも動くので。

しかし、はっきり言ってしまうと、すでにサポートの終ってるチップなのでお勧めしない。
使用できる機能が限定されるし不具合が出ても改善が期待できない。
買い換えられないのならOSはそのまま(XPを使用している場合は7にするという手はあるが)にしておいたほうが良いと思う。